非均匀缩放表面后法线为什么不能照搬位置变换：机制演算第25例

表面法线要垂直于表面的两个切向方向。横纵深度缩放比例不同的时候，把法线直接按同样比例缩放，通常会破坏这个垂直关系。

给出两个不平行切向量a和b，它们的叉积为原法线。位置按三个正比例分别缩放时，切向量按相同比例变换；正确法线方向可把原法线的各分量分别除以相应比例，最后按需要再单位化。

本例的输入和输出

六组独立表面记录，u和v为切向量，scale为三个方向的缩放比例。

输入 | 原法线 | 直接缩放后的两点积 | 按倒数缩放法线 | 正确两点积 {'u': [3, 3, -3], 'v': [1, 1, 2], 'scale': [5, 3, 1]} | [9, -9, 0] | [432, 144] | ['9/5', '-3', '0'] | ['0', '0'] {'u': [-3, 2, 1], 'v': [2, 1, 1], 'scale': [4, 2, 2]} | [1, 5, -7] | [-36, 24] | ['1/4', '5/2', '-7/2'] | ['0', '0'] {'u': [3, 1, -2], 'v': [-1, -3, 0], 'scale': [1, 2, 2]} | [-6, 2, -8] | [54, -18] | ['-6', '1', '-4'] | ['0', '0'] {'u': [3, 2, 0], 'v': [-2, 1, -3], 'scale': [4, 5, 4]} | [-6, 9, 7] | [162, 81] | ['-3/2', '9/5', '7/4'] | ['0', '0'] {'u': [-3, 0, 1], 'v': [2, 2, 2], 'scale': [3, 4, 4]} | [-2, 8, -6] | [-42, 28] | ['-2/3', '2', '-3/2'] | ['0', '0'] {'u': [3, 0, -3], 'v': [-2, 3, 0], 'scale': [1, 2, 1]} | [9, 6, 9] | [0, 54] | ['9', '3', '9'] | ['0', '0']

表格中的编号只标识当前例子的元素，不应把对象身份、数组下标与计算数值混为一谈。阅读时先核对输入和边界，再沿记录检查每一步；空结果表示规则下没有可用项，并不是默认返回数值零。

复核与适用条件

检查新法线与两个新切向量的点积均为零。也可以把变换后的两个切向量重新叉乘，它应与这个法线平行；直接乘比例的错误候选则不一定保持点积为零。

本例只处理可逆的正对角缩放，不涉及平移、奇异变换或反射后的朝向约定。法线长度不是这里的重点，后续照明若要求单位向量，仍应执行归一化，而不能把任意长度直接代入。

练习时先独立复算一小段，再检查整体结果是否满足文中条件。遇到差异应保留中间记录并定位第一处不一致，而不是只调整最后答案。更换输入或操作规则后，需要重新计算，原记录只对这一例负责。